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iMática - Soluções dos Problemas propostos na: RPM 43
  1. Calcular a área comum aos dois quadrados da figura, sendo obtido de ABCD por uma rotação de um ângulo em torno do centro O do quadrado ABCD.

Solução:

Na figura ao lado, , pois o triângulo tem os ângulos da base iguais, já que o triângulo é isósceles.

Do mesmo modo, e como temos

. Também,

= a .

Assim, podemos concluir que os triângulos BFG, são congruentes (caso LAAo), assim como todos os triângulos sombreados.

A área de cada um deles é dada por , sendo e, .

Como , , temos . Logo, a área S procurada é dada por:

.

(Solução adaptada de soluções de vários leitores.)

 

 
  1. A figura ao lado mostra a decomposição de um retângulo em quadrados. Qual a área do quadrado marcado com x?


Solução:

Na figura A, B, C, D e E indicam as áreas dos quadrados.

Temos e, tomando , temos:

, , , logo, .

Para determinar a, observamos que

, de onde .

Logo,

(Solução enviada por vários leitores.)

  1. Os números reais a, b, c são tais que e . Determine .

    Solução:

    Vamos observar inicialmente que .

    Segue-se, então, que: ou equivalentemente, .

    Para que isso ocorra, pelo menos um dos fatores deve ser nulo. Supondo , a primeira equação nos dá . Substituindo na segunda, obtemos e . Segue-se que .

    (Adaptada de soluções enviadas por vários leitores.)

  2. Quantos e quais são os valores do número real a para os quais a equação possui somente raízes inteiras?

Solução:

Ao propor esse problema 185, os responsáveis por esta seção contribuíram (involuntariamente) para a seção Pisando na bola. Como foi observado por alguns leitores, o problema 185 já havia sido proposto como parte b) do problema 141 da RPM 32. A solução foi publicada na RPM 34.

Relação dos leitores que enviaram soluções dos

problemas da RPM 43

Alberto Hasser Raad, MG – 183, 185

João Linneu do Amaral Prado, SP – 184

Aline S. de Bona, RS – 183

Joaquim Ferreira da Silva, PE – 183

Amadeu C. de Almeida, RJ – 182, 183, 184, 185

Jorge Ferreira dos Santos, RJ –183, 184, 185

Amaro J. de Oliveira Filho, PE –183, 184

Josaphat R. Gouveia Jr, BA – 184

Anderson A. de Araújo, RJ – 183, 184, 185

José Hernandes, SP –183, 184

André Luiz S. Araújo, RJ – 182, 183, 184, 185

José Renato Carneiro e Carneiro, SP – 183, 184

Antônio de Andrade e Silva, PB –183, 184

Laercio Francisco Feitosa, PE –183, 184

Antonio Ferreira Sobrinho, SP – 183, 184

Lhioko S. Tayra, SP – 183, 184

Antônio Luiz Miranda, RJ – 183

Luciano Marinho Filho, PE –182, 183, 184

Antônio Matos Santos, PR – 182, 183, 184, 185

Luis Felipe de Araujo, PB – 183, 184

Aristóteles Alexandre da Silva, RO – 183, 184

Luiz Antônio Ponce Alonso, SP –183, 184 , 185

Carl Henning Schinke, RJ – 183, 184

Luiz César Niehues, SC –183, 184, 185

Carlos Alberto S. Victor, RJ – 182, 183 ,184, 185

Marcelo Ribeiro de Souza, RJ – 183, 184

Carlos Alexandre G. Silva, RN –182, 183, 184

Marcos Garcia de Souza, SP – 182, 183

Celso M. Rodrigues, MG – 183

Maria Ivete Caetano Rodrys, SP – 183, 184

Cláudio Mariano Silva, SP – 182, 183, 184, 185

Mauro Felix de Souza, RJ – 183, 184

Cylene Cordeiro de Campos Leite, SP – 183, 184

Milton Dini Maciel, SP –182, 183, 184, 185

Enilson Vieira Chaves, MG – 183

Nilton Silveira, MG –182, 183, 184

Fernando C. Ramos, RS –182, 183, 184, 185

Pablo Pontes Arraes, SP – 182, 183, 184, 185

Flávio Mendes Garcia, GO – 183

Pierre Bedouch, MG – 182, 183

Flavio Ricardo Leal da Cunha, GO – 183, 184

Robério Bacelar da Silva, CE – 184

Florival Carmo de Sousa, GO – 182, 183,185

Roberto Luis Dotto, SP – 183

Francisco A. M. Paiva, CE – 182, 183, 184, 185

Sebastião M. Santos, MG – 182, 183, 184, 185

Geraldo Perlino Júnior, SP –182, 183, 184, 185

Trajano Pires da Nóbrega Neto, SP – 184

Gilder da Silva Mesquita, PE – 183, 184, 185

Tsunediro Takahashi, SP –182, 183, 184, 185

Guita Nascimento, RJ – 183

Vanessa A. Botta, SP – 183

Hilda da Silva Pinhão, SP – 183, 185

Vicente Wilson Moura Gaeta, AM – 184 , 185

J. Cláudio M. Velloso , RJ – 182, 183, 184, 185

Victor Chacur, SP – 182, 183, 184, 185

Jaime Oliveira, SE – 183, 184

Wanderley Gamba, SP – 182, 183, 184

Janilson Aparecido Balieri, MG – 183

Zilton Gonçalves, RJ – 183, 184, 185

João Alexandre Junior, RN – 184

Luiz Antônio Domingos, SP – 183

Nota: Na relação de acertadores publicada na RPM 44, deixamos de mencionar que Alberto Hassen Raad enviou soluções corretas para os problemas 180 e 181 e não apenas para os problemas 178 e 179, como constou. A ele nossas desculpas.

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