iMática - Problemas da RPM 45

Problemas

Escreva o número 512 como uma soma de dois números inteiros positivos, um dos quais é múltiplo de 11 e o outro é múltiplo de 13. Seria possível resolver o problema se fosse solicitado que um fosse múltiplo de 15 e o outro múltiplo de 21? Justifique sua resposta. Determine três números inteiros positivos, distintos, cujos quadrados estejam em progressão aritmética. Justifique sua resposta. Sejam A1, A2, A3, A4, A5 e A6 os vértices de um hexágono convexo equilátero, tal que , onde é a medida do ângulo interno no vértice Ai. Prove que , e . (Retirado do livro Problem-solving strategies, de Arthur Engel.) Para que valores de n é possível construir uma seqüência de segmentos A1A2, A2A3, ..., tais que , , ... , e tais que quaisquer dois segmentos adjacentes sejam perpendiculares? (Retirado do livro Problem-solving strategies, de Arthur Engel.)

... e probleminhas

1. Vovó tem 17 netos entre meninos e meninas. Dos meninos 4/9 têm olhos azuis. Quantas são as meninas?

   (Enviado por Jorge Luis Silva.)

2. Quando passeavam numa cidade, três estudantes de Matemática observaram que o condutor de um automóvel infringiu o código de estrada. Nenhum dos estudantes se recordava do número de matrícula (que tinha quatro algarismos), mas cada um deles notou uma particularidade de tal número. Um deles notou que os dois primeiros algarismos eram iguais. Osegundo reparou que também os dois últimos eram iguais. E, por último, o terceiro garantia que o número de matrícula era um quadrado perfeito.