Razão áurea:

É associada à secção áurea, algebricamente obtida quando a / x = x / (a-x), qualquer que seja o número positivo a^{(vide pág. 37 e 38 de [1])}.

Re-escrevendo-se a razão a / x = x / (a-x), pode-se obter a (a-x) = x * x e daí x² + a x - a² = 0.
Assim, conclui-se que, para um dado número real positivo a, encontrar um x de tal forma que resulte na razão áurea (ou número dourado para alguns autores), é equivalente a encontrar as raízes do polinômio x² + a x - a².
Calculando-se estas raízes obtém-se que x deve ser a (5^1/2-1) / 2 ou a (-5^1/2-1) / 2. A primeira raíz resulta um valor aproximado de 0.61 (o valor exato não pode ser representado num computador, nem mesmo ser escrito numa folha de papel, por ter uma infinidade de dígito - é um número irracional).
Entretando pode-se definir uma nova variável b como sendo: b = a-x. Neste caso a expressão a (a-x) = x * x pode ser re-escrita como (b+x) b = x * x. Deste modo, pode-se ver que x resulta num quadrado de mesma área que o retângulo de base x e altura b+x. Isso é ilustrado na construção interativa (1).

A razão áurea aparece em vários outros tópicos, como na sequência de Fibonacci ({1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...}, para n>1, F__n = F__n-1+F__n-2) ou num pentágono regular. No primeiro caso a razão áurea é o limite da sequência F__n / F__n+1.
No caso do pentágono regular, a razão áurea aparece na divisão do comprimento do lado do pentágono pelo comprimento de sua diagonal. Na construção interativa (2), é possível observar esta propriedade.

^[1] História da Matemática, Carl B. Boyer, trad. prof. dr. Elza F. Gomide (IME-USP), Edgard Blücher, 1974.

(1). Construção da razão áurea.
(2). Construção do pentágono regular e a razão áurea de sua diagonal pelo lado.
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